截长补短法的经典例题（初二截长补短的数学题）

本文目录

• 初二截长补短的数学题
• 征集初中阶段几何学中“截长补短”法解决问题的典型例题.
• 初三数学证明题（截长补短法）
• 截长补短法口诀是什么
• 截长补短法构造全等三角形
• 截长补短法的用法例题
• 数学求截长补短发和倍长中线法练习及答案
• 数学“截长补短”或“倍长中线”类题目

初二截长补短的数学题

例1 已知：如图1-1所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A + ∠C = 180°分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造等腰三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明： 在BC上截取BE=AB，连接DE，再取EC的中点M，连接DM ∵ AB = BE又 ∵ BD平分∠ABC A D∴ ∠ABD = ∠EBD在△ABD与△EBD中, AB = BE ∠ABD = ∠EBD BD = BD B E M C∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1∴ AD = ED ∠A = ∠BED ， ∵AD = DC ， ∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180°例2 已知：如图2-2，AE//BC，AD、BD分别平分�0�4EAB、�0�4CBA，EC过点D。求证：AB=AE+BC 分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线，因而可将DAED沿A翻折，从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC，只需要推证出AF=AE，则可以使问题得以解决，那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键。由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°，且�0�4EDC=180°，又由于AE//BE，因此�0�4E+�0�4C=180°从而�0�4EAB+�0�4CBA=180°，由AD、BD是角平分线，可推出�0�41+�0�44=90°，从而可推证出�0�4ADB=90°，因而�0�46+�0�48=90°。若能推证出�0�47=�0�48，那么只需要推证出DAED≌DAFD，从而可推证出AE=AF、由于BC=BF，�0�41=�0�42，BD是公共边，因此可推证出DBFD≌DBCD，则�0�45=�0�46，由于�0�45+�0�47=90°因此，�0�46+�0�47=90°，又由于�0�46+�0�48=90°，从而可推出�0�47=�0�48，由此可由AD是公共边，�0�43=�0�44推证出DAED≌DAFD，从而思路畅通，推证出AE=AF，由等量代换可推证出AB=AE+BC。 证明一：在AB上截取BF=BC，连结DF。 ∴ BD是�0�4ABC的平分线，∴�0�41=�0�42 在DBDF和DBDC中 （公共边）∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2∴�0�45=�0�46（全等三角形对应角相等） ∴�0�43+�0�48+�0�4E=�0�44+�0�41+�0�45+�0�47=�0�42+�0�46+�0�4C=180°（三角形内角和定理） ∴�0�4E+�0�4EAB+�0�4ABC+�0�4C+�0�4EDC=540° 又∴AE//BC∴�0�4E+�0�4C=180°（两直线平行同旁互补） 又∵�0�4EDC=180°∴�0�41+�0�42+�0�43+ �0�44=180° ∴AD是�0�4EAB的平分线 ∴�0�43=�0�44 ∴�0�41+�0�44=90° ∴�0�45+�0�47=90°（三角形内角和定理） ∴�0�46+�0�48=90° ∵�0�45=�0�46 ∴ �0�47=�0�48在DAED和DAFD中 ∴DAED≌DAFD (ASA) ∴AE=AF（全等三角形对应边相等） ∵ AF+FB=AB ∴AE=FB=AE+BC=AB即AB=AE+BC 分析二：延长BC交AD的延长线于F。要证AB=AE+BC，只需要证明BF=AB，只需要推证出CF=AE。而要证CF=AE，只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于�0�45=6，AE//BC，因此可推出�0�43=�0�4F，若要推证出AD=FD，成为解决问题的关键，由于四边形AECB的内角和等于360°，�0�4E+�0�4BCE=180°，因此可知�0�4EAB+�0�4CBA=180°，又由于AD、BD是�0�4EAB、�0�4CBA的平分线，从而可推出�0�41+�0�44=90°，因此�0�4ADB=90°，则�0�4EDB=90°，推到此，他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD，从而推证出AD=FD，思路形成。证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F 在DAED、DADB、DBDC中 三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理） 又∵�0�4EDC=180°（平角定义） ∴�0�4E+�0�4C+�0�4EAB+�0�4ABC=180° AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补） ∴�0�43+�0�44+�0�41+�0�42=180° 又∴AD、BD分别是�0�4EAB、�0�4ABC的平分线 ∴�0�43=�0�44，�0�41=�0�42（角平分线定义） ∴�0�41+�0�44=90° ∴�0�4ADB=90°（三角形内角和定理） ∴�0�4BDF=90° 在DADB和DBDF中 ∴DADB≌DBDF(ASA) ∴AD=FD, AB=FB，�0�44=�0�4F（全等三角形对边，对应角相等） 如图2-3 在DAED和DFCD中 ∴DAED≌DFCD ∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC例3 已知：如图3-1所示，AD为△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB—AC＞BD—DC分析：欲证AB—AC＞BD—DC，需把AB与AC的差，BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边，再利用三角形三边的关系加以证明。证明： 方法一： 截长法 在AB上截取AE = AC，连接ED。 A∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC 在△ADE与△ADC中, E AE = AC ∠EAD= ∠DAC B D C AD = AD 如图3-1∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C在△ABD中，BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边）即 AB—AE＞BD—DC∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换）方法二： 补短法 延长AC到点E，使AE = AB，连接DE A∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC 在△BAD与△EAD中,AB = AE C ∠BAD = ∠DAC B D E AD = AD∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2在△ABD中， EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边）即 AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC例4 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2图4-2 ∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.图4-3 又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图4-3在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.

征集初中阶段几何学中“截长补短”法解决问题的典型例题.

人说几何很困难,难点就在辅助线. 辅助线,如何添?把握定理和概念. 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验. 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线. 也可将图对折看,对称以后关系现. 角平分线平行线,等腰三角形来添. 角平分线加垂线,三线合一试试看. 线段垂直平分线,常向两端把线连. 如图1,D是⊿ABC的边AC的中点,延长BC到点E,使CE=BC,ED的延长线交AB于点F,求ED∶EF. 分析： 思路一：过C作AB的平行线交DE于G,由D是AC的中点可得FD=DG,由CE=BC可得FG=GE,从而得ED∶EF=3∶4. 思路二：过D作BE的平行线交AB于I,类似法一得ID∶BC=1∶2,ID∶BE=1∶4,从而得ED∶EF=3∶4. 思路三：过D作AB的平行线交BE于H,易得BH=HC=1/4BE,得ED∶EF=3∶4. 说明：本题三种思路所添加的三条平行线,均是为了充分利用“D是⊿ABC的边AC的中点”这一条件,使本来感觉比较薄弱的一个条件,在平行线的作用下变得内涵丰富,既有另外一边的中点出现,又可以利用三角形的中位线定理,这样使用起来就更加得心应手. 构造图形,补题设(已知)的不足有时必须添加一些图形,使题设条件能充分显示出来,从而为定理的应用创造条件,或者使不能直接证得的结论转化为与它等价的另一个结论,便于思考与证明. 已知：O是正方形ABCD内一点,∠OBC=∠OCB=15°求证：⊿AOB是等边三角形. 分析： (如图2)构建三角形OMC.使DH⊥OC于H,则∠2=15°作∠DCM=15°则⊿DMC≌⊿BOC且∠MCO=60°DM=MC=OC=OM ∴∠DMO=360°-60°-150°=150° ∴∠1=∠MOD=15° 从而有∠DOC=∠DCO=75°,DO=DC=AD=AB=AO 说明：本题就是利用辅助线构造出一个和要证明的结论类似的等边三角形,然后借助构造出的图形解答题目. 把分散的几何元素聚集起来 有些几何题,条件与结论比较分散.通过添加适当的辅助线,将图形中分散、“远离”了的元素聚集到有关的图形上,使他们相对集中、便于比较、建立关系,从而找出问题的解决途径. 如图8,△ABC中,∠B=2∠C,且∠A的平分线为AD,问AB与BD的和等于AC吗? 思路一：如图9,在长线段AC上截取AE=AB,由△ABD≌△AED推出BD=DE,从而只需证EC=DE. 思路二：如图10,延长短线段AB至点E,使AE=AC,因而只需证BE=BD,由△AED≌△ACD及∠B=2∠C,可证∠E=∠BDE,从而有BE=BD. 思路三：如图10,延长AB至E,使BE=BD,连接ED,由∠ABD=2∠C,∠ABD=2∠E,可证△AED≌△ACD,可得AE=AC,即AC=AB+BD. 说明：这道例题就是利用辅助线,把本来不在一条直线的线段AB与BD聚集到一条直线上来,这样就可以轻松得到AB+BD或者AC—AB,然后题目就迎刃而解了. 平面几何中添加辅助线的方法是灵活多变的,这就要求我们熟练掌握数学中的基本概念和基本定理,在实践探索中经常进行归类总结,仔细分析题目给我们的条件,找到隐含的及一些有规律的信息. 来源 要证线段倍与半,延长缩短可试验. 三角形中两中点,连接则成中位线. 三角形中有中线,延长中线等中线. 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点. 梯形里面作高线,平移一腰试试看. 平行移动对角线,补成三角形常见. 证相似,比线段,添线平行成习惯. 等积式子比例换,寻找线段很关键. 直接证明有困难,等量代换少麻烦. 斜边上面作高线,比例中项一大片.

初三数学证明题（截长补短法）

旋转法：如图将三角形BCF延B点按逆时针方向旋转90°得到新的三角形ABF′，目的证明BE=EF′。因为角F′=角BFC角ABF′+角ABE=角CBF+角ABE=角EBF+角ABE=角ABF,而角ABF=角BFC所以角F′=角ABF′+角ABE=角EBF′所以三角形EBF′为等腰三角形，BE=EF′所以BE=EF′=AE+AF′=CF+AE

截长补短法口诀是什么

截长补短法口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验，线段和差不等式，移到同一三角中。

说明：遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论。

相关信息：

截长补短法可以在一条长的线段上截取一条短的，转化为证剩下的线段与另一条短的线段相等。或将一条短的线段延长到另一条短的线段上，转化为证组合的线段与长的线段相等，这就是所谓的截长补短法，即截取长的，补充短的。

一道几何题，在无法直接证明的情况下，利用截长补短作为辅助线方法，有时可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。

截长补短法构造全等三角形

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段的等量关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

截长边

如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。

求证：AB=AC+CD。

证明:

截长边，证全等

在AB上截取AE=AC，

∵AD平分∠BAC交BC于点D

∴∠CAD=∠BAD

在△ACD和△AED中

AC=AE

∠CAD=∠BAD

AD=AD

∴△ACD≌△AED（SAS）

2.由全等，推等腰

∴∠AED=∠C,CD=ED

∵∠C=2∠B

∴∠AED=2∠B

又∵∠AED=∠EDB+∠B

∴∠EDB=∠B

∴EB=ED

∴CD=EB

3.转换边，得结论

∵AB=AE+EB

∴AB=AC+CD

截长补短法的用法例题

例1：正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF。证明：延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。∵ABCD是正方形∴∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴ADG≌ABF（SAS）∴∠GAD=∠FAB，AG=AF∵ABCD是正方形∴∠DAB=90°=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE例2：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。∵∠5和∠6是对顶角∴∠5=∠6∵E是CD的中点∴DE=EC∵AD∥BC∴∠1=∠F∴△AED≌△CEF（AAS)∴AD=CF，AE=EF∴AB=AD+BC=CF+BC=BF∴△ABF是等腰三角形且AF为底边又∵AE=EF且点E在线段AF上∴BE⊥AF∴∠AEB=90°例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求证：AB+BD=AC。证明：在AC上截取AE=AB，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2又∵AD=AD，AB=AE∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=DE，∠B=∠3又∵∠B=2∠C∴∠3=2∠C又∵∠3=∠4+∠C∴2∠C=∠4+∠C即∠C=∠4∴DE=CE∴BD=CE∵AE+EC=AC∴AB+BD=AC例4：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。求证：CD=CB。证明：在AB上找一点E，使AE=AD，连接CE∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC又∵AE=AD，AC=AC∴△ACD≌△ACE(SAS)∴∠ADC=∠AEC，CD=CE∵∠ADC=∠AEC∴∠AEC+∠B=∠ADC+∠B=180°∵∠CEB+∠AEC=180°∴∠B=∠CEB∴CE=CB∴CD=CB

数学求截长补短发和倍长中线法练习及答案

例1  如图1-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.  求证：CD=AD+BC.

 分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 

数学“截长补短”或“倍长中线”类题目

你的QQ是什么？ 截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例：在正方形ABCD中，DE=DF，DG CE，交CA于G，GH AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系 方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。（第2页题目答案见第3、4页）（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EAF=45 。求证：EF=DE+BF （1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上， EAF=45 。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ （1）变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上， EAF=45 。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ （1）变形c正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上 EDF=45 。DB=DC， BDC=120 。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？ （1）变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EAD=15 ， FAB=30 。AD= 求 AEF的面积 （1）解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG= ABF=90 AD=AB又DG=BF所以 ADG ABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90 = DAF+ FAB= DAF+ GAD= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AFAE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE 变形a解：（简单思路）EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE= ABG=90 AD=AB又DE=BG所以 ADE ABG（SAS）EAD= GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90 = DAG+ GAB= DAG+ EAD= GAE所以 GAF= GAE- EAF=90 -45 =45 GAF= EAF=45 又AG=AEAF=AF所以 EAF GAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE 变形b解：（简单思路）EF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG= ABF=90 AD=AB又DG=BF所以 ADG ABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90 = DAG+ GAB= BAF+ GAB= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AFAE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF 变形c解：（简单思路）EF=BE+FC延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由 ABC是正三角形得ABC= ACB=60 又DB=DC， BDC=120 所以 DBC= DCB=30 DBE= ABC+ DBC=60 +30 =90 ACD= ACB+ DCB=60 +30 =90 所以 GCD=180 - ACD=90 DBE= DCG=90 又DB=DC，BE=CG所以 DBE DCG（SAS）EDB= GDCDE=DG又 DBC=120 = EDB+ EDC= GDC+ EDC= EDG所以 GDF= EDG- EDF=120 -60 =60 GDF= EDF=60 又DG=DEDF=DF所以 GDF EDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC 变形d解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EH AG.前面如（1）所证，ADG ABF， EAG EAFGAD= FAB=30 ，S EAG=S EAF在Rt ADG中， GAD=30 ，AD= AGD=60 ，AG=2设EH=x在Rt EGH中和Rt EHA中AGD=60 ， HAE=45 HG= x，AH=xAG=2=HG+AH= x+x,EH=x=3- S EAF=S EAG=EH AG 2=3- .（第5页题目答案见第6页）（2） 正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分 DAC。求证：AC/2=AD-EO （2）加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分 DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？ （2）解：（简单思路）过E作EG AD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90 ，BD平分 ADC，AC BD所以 ADB= ADC/2=45 因为AE平分 DAC，EO AC，EG AD所以 EAO= EAG，DGE= AOE= AGE=90 又AE=AE，所以 AEO AEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又 ADB=45 ， DGE=90 所以 DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2 （2）加强版解：（简单思路）MN/2=AD-EF过E作EG AD于G，作EQ AB于Q，过B做BP MN于P按照（2）的解法，可求证，GNE FNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因为四边形ABCD为正方形，ABC= GAQ= BCM=90 BD平分 ABC，BC=BAABD= ABC/2=45 ，又 EQB=90 EQB为等腰Rt三角形， BEQ=45 因为 GAQ= EGA= EQA=90 所以四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ//AGQEN= ENG又 ENG= ENF，所以 QEN= ENF由BC=BA， BCM= BAN=90 ，CM=AN，所以 BCM BAN（SAS）BM=BN， CBM= ABNABC=90 = ABM+ CBM= ABM+ ABN= MBN，又BM=BN所以 MBN为等腰Rt三角形，又BP 斜边MN于P，所以 NPB为等腰Rt三角形。BP=MN/2， PNB=45 。BNE= ENF+ PNBBEN= QEN+ QEB又 QEN= ENF， PNB= QEB=45 所以 BNE= BENBN=BE，又 PNB= QEB=45 = NBP= EBQ所以 BEQ BNP（SAS）EQ=BP因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。